Если fia - круг с диаметром а, то из (1.1.9) получаем

Дгп= -

2 IR

(1.1.9)

(1.1.10)

Учитывая, что основные значения /(г) сосредоточены в окрестности г=0, из (1.1.10) можно сделать вывод, что основная излученная лазером энергия попадает в область с размером 2Дго~

- - , что соответствует углу (расходимости порядка л/а. Этот

я Да

угол совпадает с минимальным углом, тредел которого устанавливается дифракцией электромагнитных волн на области О,.

Упрощенная модель излучения (1.1.1) в наибольшей степени соответствует так называемому одномодовому режиму раббты лазера, т. е. такому, при котором генерируется одно гармоническое колебание (одна мода). Подобный режим обеспечивается специальными техническими решениями, которые часто приводят к существенному понижению выходной мощности. Однако даже в этом случае модель (1.1.1) хотя и является хорошей, но все же отвечает определенной идеализации реального сигнала. В лазере всегда присутствуют естественные временные и пространственные флуктуации комплексной амплитуды Ва что, конечно, не учитывается моделью (1.1.1). Как показали экспериментальные исследования, в надпоро-говом режиме работы лазера естественные флуктуации лазерных пучков в пространстве и во времени являются слабыми. Именно это обстоятельство и оправдывает использование описания (1.1.1) для подобных случаев.

Мощные лазеры по указанной выше причине обычно излучают большое число статистически независимых гармонических коле!ба-ний. Такой многомодовый характер излучения связан с многомо-довостью спектра собственных колебаний оптического резонатора. В общем случае фазы отдельных мод случайны, так что случайным оказывается и все суммарное излучение. Естественно, что при этом нарушается синфазность электромагнитного излучения с торца лазера или иными словами разрушается как пространственная, так и времелгная его когерентность.

При большом числе мод в силу центральной предельной теоремы лазерное излучение нормализуется, т. е. с достаточно хорошей точностью описывается нормальным законом распределения. В [2] показывается, что это утверждение справедливо вне зависимости от того, имеют ли все излученные моды одну частоту или их частоты оказываются различными. Так как всякий нормальный закон однозначно описывается двумя первыми статистическими моментами, то, следовательно, особо важную роль для характеристики генери-руемого лазером излучения приобретает корреляционная функция.

С целью более детального обсуждения возникающих при этом вопросов рассмотрим вначале случай, когда лазерное излучение по-прежнему обладает высокой монохроматичностью, а существенному разрушению подвергается лишь его пространственная структура.

Для учета этого эффекта в выражении (1.1.1) вместо постоянной величины Ва должна быть введена функция еа(р). Последняя, как и Ва, вне fia равна нулю, но внутри fia принимает случайные значения, которые подчиняются нормальному закону. Таким образом, теперь вместо (1.1.1) имеем

£ЛР,0 = Ке]/2/>,сз(р)е-,

где Рл - уже такая средняя интенсивность, что

о 2„

Откуда, в частности, следует, что

(1.1.11)

(1.1.12)

(1.1.13)

Аргу.мент комплексной амплитуды Ва(р) описывает с учетом соответствующего масштабного множителя случайное распределение фаз, реализовавшееся в данном акте излучения.

При вегсьма общих условиях статистические моменты функции

еа(р) равны:

<а(Р))=0;

(а (pi) Ё"а (Р2) ) = (Plfsa (Рз) ) =0; ( Sa (7l) Sa (Р2) ) = ( £а (Pl) \ (pi) ) = -а (Pl,

(1.1.14)

Вид корреляционной функции /Са(рь Р2) определяется конкретным типом лазера и во многом зависит от оптического резонатора и формы зеркал. Так, в некоторых случаях многомодовое лазерное излучение обладает статистической однородностью по пространству

и тогда Ка{р\, Р2) -Кц{р1-р2), в других проявляется значительная статистическая неоднородность. Часто такая неоднородность проявляется через зависимость усредненной по времени излучаемой

интенсивности от координаты р. Тогда при небольшом радиусе корреляции функция /Са(рь P2) записывается в виде

f<a (Pl. Р2) = /а (pl) (Pi - Р2),

(1.I.I5) 11

где функция /а(-) по сравнению с R является существенно более медленной.

Конкретные выражения функции корреляции /Са(рь Рг) Для сферического и плоского резонаторов приводятся в [2].

Однако, в конечном счете важен не сам вид функции /Са{рь Рг). а соответствующий ей радиус корреляции рл.к, т. е. радиус той об-

ласти, где сосредоточены основные значения функции /СаСрь рг)-Для многомодовых лазерных пучков, возбуждаемых в плоском резонаторе с прямоугольными зеркалами, радиус корреляции прямо пропорционален линейному размеру зеркала резонатора 2ал и обратно пропорционален числу возбуждаемых поперечных мод Nu так что 2]

(1.1.16)

Заметим, что формула (1.1.16) является приближенной. В частности, при ее выводе не были учтены возможные неоднородности в активной среде лазера и неравномерность распределения интенсивности по модам.

Для сферического резонатора формула для Рл.к существенно отличается от (1.1.16). Появляется зависимость величины

Рл.к от

координаты р, которая приводит к тому, что при смещении к краю пучка Рл.к увеличивается. Изменяется также и характер зависимости от числа -Ni. В последнем случае величина рл.к обратно пропорциональна не N\, а У Ni.

Использование оптических систем, осуществляющих преобразование излучения с выхода лазера в тот сигнал, который излучается лазерным локатором, приводит к тому, что радиус корреляции последнего ра.к связан с рл.к соотношением ра.к=арл.к, где а - соответствующий масштабный коэффициент. Так как аналогичная связь справедлива и для величин Оа и а, то, следовательно, соотношения между размерами аа и ра.к оказываются такими же, как и между ал и рл.к- Посмотрим, к чему приводят пространственные флуктуации.

Поле на расстоянии Д от локатора определяется прежними формулами (1.1.3) ... (1.1.6) с той лишь разницей, что теперь в (1.1.4)

входит не постоянная величина ва, а случайная функция е,а(р), так что

£ Й= f Гр) (Р~Ъ dp. (1.1.17)

в результате и поле и его интенсивность на расстоянии iR также будут случайны. При этом поле флуктуирует по нормальному закону, а интенсивность -по экспоненциальному. Среднее значение

распределения интенсивности по плоскости г, получаемое с учетом соотношений (1.1.14), равно

=Р. J 1 K,Cpvh)Cpl-Ъ(p2-Ъd7ld*P2. (1.1.18)

Оценим радиус круга Дгп, в котором сосредоточены основные

значения </(г)>. Для этого предварительно вычислим два интеграла. Если пучок является пространственно однородным, т. е.

Кп{ри Рг) = /((р1-рг), тогда

j {лЪ)сГг=

= Ял ] а(р1-рг)е

= Л f j" a(Pl-p2)e

8(р1-р2)й?Р1Й?Р. = л/а(0)5„

/Са (Pi - P2) e " dp,dP2 ~ X

{IRf

(1.1.19)

где при переходе к последнему приближенному равенству было сделано предположение об изотропности излучения и о том, что радиус корреляции ра.к настолько мал, что помимо аа<Ра.к выполняется неравенство ра.к С X/?. Последнее неравенство мы будем часто использовать при оценке подобных интегралов. Его физический смысл состоит в том, что область, освещаемая на расстоянии R, по отношению к размеру корреляционного пятна находится в зоне Фраунгофера.

С учетом равенств (1.1.19) и по аналогии с (1.1.9) имеем

(1.1.20)

По определению радиус корреляции ра.к изотропного излучения равен

Pa.K=j КЛР)4/КЖ (1.1.21)

и поэтому из (1.1.20) получаем

Дг„=-

(1.1.22)

Сравнивая (1.1.22) и (1.1.10), виХим, что все различие между этими формулами проявляется TojfbKo в том, что если в (1.1.10) в знаменателе стоит размер выхддйого пучка ад, то в (1.1.22) его место занимает удвоенный радиус корреляции 2ра.к пространственных флуктуации. Так как значения этих величин резко различаются (аа2ра.к), то резко различаются и значения величин Дго и Агц-Радиус освещаемой на расстоянии i/? области в случае малого радиуса пространственных корреляций ра.к оказывается намного больше того же радиуса при пространственно когерентном излучении.

Таким образом, нарушение пространственной когерентности излучения лазера приводит к увеличению угла расходимости лазерного (пучка, и при 2ра.кЗ>аа этот угол определяется уже не дифрак-/ ционным пределом i/a, а отношением V2pa.K. Последнее можно трактовать как предел, устанавливаемый своеобразной дифракционной расходимостью, соответствующей одному корреляционному пятну.

Конечно использование формирующих оптических систем лазерного локатора и в этом случае улучшает расходимость, ибо с увеличением поперечных размеров пучка одновременно происходит увеличение и радиуса корреляции пространственных флуктуации. В результате относительный эффект оказывается такой же, как и для пространственно когерентного излучения, но абсолютное его значение уменьшается во столько раз, бо сколько ра.к меньше аа. Естественно, что при этом снижаются и требования на качество формирующих выходное излучение оптических систем.

Увеличение расходимости лазерного пучкаэто только одно из проявлений его пространственной некогерентности, другое - связано с нарушением регулярной плавной структуры излучения по плоскости, пересекающей распространяющийся луч. Для того чтобы выяснить статистические особенности этой структуры, необходимо найти средние значения и корреляционные функции комплекс-

ных амплитуд Е{г) и интенсивности /(г). Принимая во внимание (1.1.4) и (1.1.14), получаем

{Е{г))=0, {Ё{г{)Е{г,))=0;

Kj (Г1, Г2) = (./ (г,) у (Г2) ) - (/ (г,) ) ( у (Гз) ) =

=Pl (If (г>1£(;г)р) - {jCrx)) иы) =

[1.1.23)

= PUEir,) Е* (п) £• (Г2) £•* (Г2)) - (у (ri)) у [г,)) = = р1{ЕСг,)Е* (7,)) (Е {г,)Е* Сг2)) + £{Т,) Е{?2)) {Е*{7,)Ei)) + -\-Р1{Е[г,)Е*{72)) {E7,)E{r,))-{jCr,]) (У(Г2)) =

р. 1 f /Са ("Pl. Р2) Н С?! - Г,) Я* (2 - Г2) 1

.24)

где для получения окончательного выражения было использовано известное правило из математической статистики о представлении любого четного момента нормальных случайных величин с нулевыми средними значениями через сумму произведений вторых моментов {37], а также равенство (1.1.14).

Сравнивая (1.1.24) с (1.1.18), видим, что

/0(Яг2)=(УЙ)2. (I.I.25)

Откуда следует, что дисперсия флуктуации интенсивности aj{r) в любой точке г равна квадрату среднего значения, т. е.

-уЙ=(У(")). (I.I.26)

С целью упрощения полученных выражений вновь воспользуем-

->

ся малостью радиуса корреляции рак и предположим, что излуче-

->-> ->.-«.

ние изотропно, так что /Са(рь P2) =/Ca(pi-pal)• Тогда аналогично

(1.1.18) получаем

n?i..p.

(1.1.27)

Вычисление радиуса корреляции Гк, соответствующего функции (1.1.27) и определяемого равенством (1.1.21), сопровождается операциями, полностью совпадающими с (1.1.9), и поэтому неудивительно, что результат оказывается тождественен (1.1.10), так что

г.=Дго=-. (1.1.28)

па-,

Учитывая, что площадь всей освещаемой в среднем области есть яАгп, находим, что число различных корреляционных ячеек, помещающихся в этой области, равно

Л10 =

(1.1.29)

Обсудим физический смысл полученных результатов. Соотношение (1.1.18) показывает, по какому закону изменяется средняя световая интенсивность по плоскости, находящейся в дальней зоне.