Умножение дробей. При умножении дробей числитель умножается на числитель, а

(а с а-с\ знаменатель на знаменатель \ь~й ъ-й]

При умножении целого числа на дробь или наоборот надо числитель дроби умножить на это число и поставить прежний знаменатель

/ Ь а-Ь . дроби /а-- = -1.

Деление дробей. Разделить дробь на дробь -это то же, что помножить первую дробь на дробь, обратную второй, т. е. на дробь, в которой числитель и знаменатель поменялись местами

а с ~b-d

be ) *

Обратной величиной называется результат деления единицы на данную величину. Так,

например, 5 и 4-, 2 и 0,5 и вообще а и - -

взаимно обратные величины.

Выражение вида - (единица.

деленная

на дробь) означает дробь, обратную той, ко-.торая стоит под 1, т. е. в данном случае-.

Например, формула для определения общей емкости двух последовательно соединенных конденсаторов имеет вид

с, Со

Сокращение дробей. В целях упрощения выкладок в дробях, содержащих одинаковые сомножители ив числителе и в знаменателе, производится сокращение. Например,

QbC be bC 1 гт

"-. Но нельзя сокращать

0 + 6

d а(Ь-с) , что отнюдь не равно Ь.

4. СТЕПЕНИ И КОРНИ

Степень. КОГда число умножают само на себя несколько раз, то пишут, например, не а а, а и говорят; «а во второй степени» или «а в квадрате». Здесь й - основание; число сверху Шрава у оонования - нок.аз а-тель степени, определяющий, сколько раз основание должно быть помножено само на себя, а все вместе, как и результат выполне-

ния действия, - степень. Таким образом, {а в кубе) = а - а - а, а а (а в четвертой степени) =а-а-а-а.

В технике большие приближенные числа, оканчивающиеся нулями, обычно записываются в виде произведения числа, составленного из значащих цифр данного числа, на соответствующую степень основания 10. Например, емкость 30 ООО пф пишут в виде 3 - 10 пф, так как 3 - 10* = 3 10 - 10 • 10 • 10 = 30 ООО. Как видно, показатель степени в этом случае равен числу нулей.

Степень может иметь и отрицательный показатель. При степенях с отрицательными показателями общее число нулей перед единицей тоже совпадает с показателем, но в это число нулей входит и нуль впереди запятой: 10" (читается „10 в степени минус

три")-1=0,001; 10-4 0,0001 и т. д.

Когда пишут; „индуктивность равна 3- 10~гя, это значит 3-0,000001 =г 0,000003 гн.

Любое число в нулевой степени (с показателем 0) всегда равно единице (3*=1; 1).

При возведении в степень отрицательной величины действуют общие правила, но в результате ставят знак минус, если показатель степени представлял нечетное число. Четные степени независимо от знака у основания всегда положительны. Например, (-5) = -(-5) - (-5)= 25, а (~5) = (-5) (-5)Х X (5) = 25. (-5) = - 125.

Действия со степенями. Складывать и вычитать кевычисленные степени можно только при условии, что они имеют одинаковые основания и показатели {а -" 2й = Зa).

Чтобы перемножить степени с одинаковым основанием, достаточно сложить их показатели (а-а =2 а+ - а).

Чтобы разделить одну степень на другую при одинаковых основаниях, достаточно, вычесть показатель делителя из показателя

делимого lz=a

При умножении и делении степеней нужно принимать во внимание знаки показателей

-2 „34.(-2) „1

Корни. Действие, обратное возведению Б степень, т. е. отыскание основания по известным значениям степени и показателя, называется извлечением корня. Действие извлечения корня обозначается знаком радикала V (произносится „корень из . . . ."). Число, из которого извлекается корень (степень), ставится под знаком радикала и называется подкоренным. Показатель ста-

внтся над знаком радикала и называется показателем корня. Извлечь корень третьей степени из а значит найти чи-

сло, которое будет трижды умножено на само себя, даст подкоренное число. Например, У8 = 2, потому что 8 = 2.2.2 = 23.

Корень второй степени пишется обычно без показателя корня IS).

Как на пример применения действия извлечения корня можно указать на нахождение среднего геометрического двух чисел.

Из пропорции " = у следует, что = аЬ,

откуда X =Va-i?.

Если под корнем стоит не одно только число, а целое выражение (подкоренное выражение), включающее в себя сложение или вычитание, то сначала надо вычислить это выражение, а затем извлекать корень уже из результата вычисления. Но если под корнем стоит произведение или дробь, то можно извлечь корни из отдельных членов подкоренного выражения и затем произвести умно-жение или деление их. Например, Ya-b =

- Ya- Yb; = - Отметим, что Y-

. п -

Yab = ab вообще Ус" = а, но уа-Ь отнюдь не равняется а-{-Ь.

Из отрицательной величины извлекается корень только нечетной степени, причем ответ получается тоже отрицательным

(Y- 8 = - 2; Y-~ = -)- Корень четной степени из отрицательного числа не может быть выражен действительным числом. При решении технических задач пользуются математическими таблицами, содержащими вычисленные значения корней (см. стр. 210).

5. УРАВНЕНИЯ

Два алгебраических выражения, соединенные между собой знаком равенства, образуют уравнение если оба эти выражения имеют одинаковую численную величину при определенных числовых эваченнях входящих .в иих букв. Составление уравнения имеет целью определить одну или несколько неизвестных величин по ряду заданных. Ниже излагаются правила обращения с уравнениями, содержащими только одно неизвестное.

Чтобы определить из уравнения неизвестную величину X, надо так преобразовать это уравнение, чтобы х находилось в левой части уравнения; все остальные члены уравнения переносятся в правую часть уравнения. Этот 10

перенос членов уравнения из одной части его в другую производится по следующим упрощенным правилам.

1. Перестановка обеих частей уравнения (одной на место другой) ничего не меняет в выкладках (например, b -\- с = х ~ а то же, что и х~а = Ь-{-с).

2. Члены уравнения, связанные знаками сложения и вычитания, переносятся с переменой знака перед ними (например, при х - а ~ = Ь -\- с получаем х = b -\- с -\- а).

3. Члены уравнения, связанные знаками умножения и деления, переносятся так, что числители в одной части становятся знаменателями в другой, а знаменатели в одной части становятся числителями в другой. На-

пример, при= ополучаем x=:ia-b-c-a - а-Ь-с.

Пример. При = -j определить 1.

Заданное уравнение является пропорцией, а по-это.му можно написать R. 1=12-h (произведения крайних и средних членов равны). Перенеся Ri в правую часть уравнения в качестве знаменателя, получим:

Если уравнение содержит степени или корни, то сначала освобождаются от них, а затем полученное выражение преобразуют по указанным правилам.

Например, формула для определения длины волны имеет вид Я= 1,88/L-C, где X-длина волны, м; L - индуктивность, мкгн; С - емкость колебательного контура, пф.

Нам же требуется по известным длине волны X и индуктивности L определить емкость С. Так как неизвестное С содержится под знаком радикала, то нужно вначале освободиться от корня. Для этого возведем обе части равенства в квадрат (при этом равенство не нарушится): =1,88 L-C. Меняя затем левую и правую части местами и перенося известные члены {l,S8L) вправо, получаем:

12 \

3,55L

Если уравнение содержит взятые в скобки члены, то каждое выражение, заключенное в скобки, надо рассматривать как один член. Таким же членом является числитель или знаменатель дроби, если он представлен суммой или разностью.

Фиг. 1-1. Остроугольный треугольник.

6. НАЧАЛА ГЕОМЕТРИИ И ТРИГОНОМЕТРИИ

Треугольники. Треугольник представляет фигуру, образующуюся в результате соединения прямыми линиями трех не лежащих

на одной прямой точек Д В и С (фиг. 1-1), Противолежащие точкам стороны обозначаются соответствующими малыми буквами: а, Ь, с. Углы между сторонами обозначаются соответствующими малыми буквами греческого алфавита: к, р, у. Основным свойством любого треугольника является то, что сумма его углов равняется 180°, т. е.

а+ +7=180°. (1-3)

Углы в треугольнике могут быть: один прямой (=90°) и два острых «90°), один тупой О 90°) и два острых или все три угла острые.

Треугольник можно построить, если заданы; или 1) размеры трех сторон, или 2) две стороны и один угол или 3) одна сторона

Фиг. 1-2, Подобные треугольники.

И два угла. По известным трем углам можно построить множество подобных, но не равных треугольников (фиг. 1-2). У подобных треугольников отношения соответствующих сторон равны, т. е.

Ol „

(1-4)

Прямоугольный треугольник. Треугольник, у которого один из углов прямой (90°), называется прямоугольным треугольником (фиг. 1-3). Для построения прямоугольного треугольника достаточно знать только две величины, так как третья - прямой угол - всегда известна.

В прямоугольном треугольнике стороны а и Ь, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона с, противоположная прямому углу, - гипотенузой. Катеты и гипотенуза связаны между собой соотношением

с2 = сг2 + /?2,

или

с=:-/а + Ь. (1-5)

Соотношение (1-5) часто используется в электротехнических расчетах. Например, полное сопротивление Z электрической цепи, состоящей из емкостного или индуктивного сопротивления X и включенного последовательно с ним активного сопротивления R, равно не арифметической, а геометрической их сумме,

т. е. Z = yW+lR.

Пример. Пусть Х = 800 ом Z = >/8002"+6002=. 1 ООО ом.

Тригонометрические функции. В прямоугольном треугольнике достаточно знать один из острых углов, чтобы определить все три его угла. По трем же углам можно построить бесконечное множество подобных треугольников, стороны которых будут находиться в одинаковых отношениях (фиг. 1-2). Следовательно, в прямоугольном треугольнике один острый угол определяет постоянные соотношения между длинами сторон. Отношение

(противолежащего углу а катета к гипотенузе) называется синусом о. (сокращенно sin а), а отношение (прилежащего углу а

катета к гипотенузе)-к осинусом а (cos а), т. е.

(1-6) (1-7)

Фиг. 1-3. Прямоугольный треугольник.

R = 600 он. Тогда

Sin а : - ;

COS о. - -.

Отношения катетов друг к другу называются тангенсом или котангенсом угла а:

ctg а = - .

а

(1-8) (1-9)

1 Функцией называется переменная величина, изменяющаяся в зависимости от изменений другой вели-чйны (аргумента).

И