округлять с той же точностью, с како?! были даны исходные числа (например, 4 800 -

- 1 360 = 3 440 = 3 400; = 1.79 1,8; 678Х

X 13 = 8 814 ==8 800).

Сравнение величин. Надо различать два способа сравнения величин: 1) па сколько одна величина больше (или меньше) другой и 2) во сколько раз одна величина больше другой (или, что по существу то же самое, - какую часть одной величины составляет другая). Сравнение первым способом («на сколько») производится вычитанием одного числа из другого, и результат сравнения называется их разностью; сравнение вторым способом («во сколько») производится делением одного числа на другое и результат этого сравнения называется отношением этих чисел.

Разность. Определение арифметической разности двух величин производится вычитанием из большей сравниваемой величины меньшей. Но иногда по условиям технической задачи требуется из меньшей величины вычесть большую, в этом случае разность называется алгебраической.

Пусть требуется, например, определить, насколько больше мош,ности, потребляемые приемниками «Рекорд» (50 вт) и «Нева» (100 ег), в сравнении с мощностью, потребляемой приемником «Балтика» (70 вт). Очевидно, надо от мощностей «Рекорда» и «Невы» отпять мощность «Балтики»:

50 - 70 = - 20 вт\ 100 ™ 70 = 30 em.

Число со знаком минус называется отрицательным числом и в данном случае означает, что мощность, потребляемая приемником «Рекорд», НС больше, а меньше на 20 вт, чем мощность, потребляемая приемником «Балтика».

Вообще в технике отрицательная величина применяется для указания противоположного в сравнении с другой одноименной величиной смысла. Так, например, температуры ниже нуля (мороз) отмечаются знаком «-» в отличие от жары; при сравнении двух противоположно направленных токов в электротехнике величину одного из них часто считают положительной, а другого - отрпцательной. При этом положительные величины необязательно отмечать знаком «4-», а отрицательная величина всегда отмечается знаком «-», который отбрасывать нельзя.

Противоположное отрицательному числу положительное число называют абсолютной величиной отрицательного числа и обозначают отрезками прямых. Например, абсо-6

лютная величина числа «-5» будет -5[= -- 5 или просто 5.

Вычисления с отрицательными величинами производят по следующим правилам,

1. Прибавить отрицательное число значит отнять его абсолютную величину. Например, 15( 8)- 15 - 8=1:7; iO-f( -2) = = 10 -2=12.

2. Отнять отрицательное число значит прибавить его абсолютную величину. Например, 9 -(-12)-9+12:21; 4-~( -6)=

:= 4 + 6=:2.

3. При перемножении или делении положительного числа на отрицательное или отрицательного на положительное получается отрицательный результат. Например, (- 2)Х

Х7 = -14; Д = ~9.

4. При перемножении или делении двух отрицательных величин результат получается положительный. Например, (-8)-( - 5)1= 40; (-36)

(-9)

Отношение. В то время как разность измеряется в единицах, присущих сравниваемым величинам, отношение не имеет единиц измерения, или, как говорят, измеряется в отвле-чершых единицах. Если в предыдущем примере поставить вопрос: «Во сколько раз мощности, потребляемые приемниками «Рекорд» и «Нева», больше мощности, потребляемой приемником «Балтика», то для получения ответа нужно разделить мощности «Рекорда» и «Невы» на мощность «Балтики»:

5° =.0.715; У«=.1,43.

Число 0,715 означает, что мощность „Рекорда" не больше, а меньше мощности „Балтики" и составляет от нее 0,715. Если мощность „Балтики" (70 вт) принять за единицу, то мощность „Рекорда" (50 вт) составит 0,715

этой единицы, т. е. отношение

7 равно от-

0,715

ношению -J- или

50:70 = 0,715: 1. Равенство двух отношений называется пропорцией. Для любой пропорции характерно, что произведение средних ее членов всегда равно произведению крайних (70 X X 0,715 = 50 и 50 1 = 50) и отношения предыдущих членов и последующих равны

50 70

J\b 70 и -р

.70J

Если в пропорции средние члены равны друг другу, то этот повторяющийся член

называется средним геометрическим числом ДВУХ остальных членов пропорции.

36 12 1о

Например, в пропорции 32~Т

ляется средним геометрическим чисел 36 и 4. (см. также стр. 10).

Вместо сравнения величин в долях часто сравнивают их в процентах. Процентом называется сотая доля (0,01) какой-нибудь величины. Обозначается процент знаком %. При вычислении процентов одну величину принимают за 100%, тогда вторая величина в процентах по отношению к первой находится умножением ее отношения к первой на 100. Если в предыдущем примере за 100% принять мощность, потребляемую приемником «Балтика» (70 ег), то мощность, потребляемая

«Рекордом» (50 вт), составит • 100 = 71,5%.

Погрешность и допуски. Различают погрешности абсолютную и относительную.

Абсолютной погрешностью (ошибкой) называется разность между найденным, измеренным значением величины и ее действительным значением, т. е. определяемым образцовыми мерами или приборами.

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к действительному значению измеряемой величины. Относительная погрешность выражается обычно в процентах.

Пример. При измерении сопротивления было найдено его значение /? = 202 ом. Действительная величина сопротивления R = 200 ом. Абсолютная погрешность измерения равна - i=202 ом-200 ом=2 ом. Относительная погрешность равна

.100 = 2Q-Q.100 = 10/,.

Так же как и погрешности, можно выражать и допуски. Допуск - это допускаемое отклонение (отступление) от номинальной, установленной величины. Например, на корпусе конденсатора указана его емкость 24 пф и отклонение +2 пф. Это значит, что истинная емкость его может отличаться от номинальной (от 24 пф) не больше чем на ±2 пф (абсо-л го т н ы й допуск), т. е. должна находиться в пределах от 24 - 2 = 22 пф до 24 + 2 = = 26 пф. Пределы допустимых отклонений часто записывают с помощью знака (от - до), например 22н-26 пф.

Отношение абсолютного допуска к номинальной величине называется относительным допуском. В последнем примере

относительный допуск равен

::t0.08.

или -8*/0, так что на том же конденсаторе можно было написать: 24 wztSo-

Определение предельных значений по допуску. Если дана величина абсолютного допуска, то для определения предельных значений складывают ее с номинальной величиной.

пример. Номинальный внешний диаметр кари ас а звуковой катушки громкоговорителя равен 20,6 лш. Допуск равен-0,05 ЛЛ!. Значит, предельными размерами его являются 20,6 -f- ( - 0,05) = 20,55 мм - минимальный и 20,6 мм - максимальный. В данном случае отклонение допустимо только в сторону уменьшения, что и обозначает знак минус перед величиной допуска.

Если указан относительный допуск, то сначала определяют по нему абсолютный допуск, а затем уже пределы отклонения.

Пример. Уход частоты гетеродина приемника при некоторых обстоятельствах составил-1% на частоте 1 500 кгц. Какова после ухода его частота?

Так как-1%= - 0,01 (относительное отклонение), то абсолютное отклонение определится как 1 500- (- 0,01) = - 15 кгц. Прибавляя это отклонение к номинальной величине, получим 1 500 -Ь ( - 15) = == I 485 кгц.

Знаки неравенства. При сравнении величин часто применяют знаки, позволяющие сокращенно описать различие между этими величинами.

Знак > означает, что величина, стоящая слева от него, больше величины, стоящей справа от него (например, 5>>3). Знак <С имеет обратный смысл (7-<10). Если сравниваемые величины значительно, по крайней мере в 5 - 10 раз, отличаются друг от друга, то применяют сдвоенные знаки (например, 100 > 5 или 3 < 200). Знак < означает меньше или равно, а знак -больше или равно.

Приемы упрощенного умножения и деления. Применение изложенных ниже правил позволяет довольно часто производить умножение и деление в уме, а также ускоряет письменные вычисчения.

Умножение на 10, 100 и т. д. Для умножения целого числа на единицу с нулями (на 10, ТОО) достаточно приписать к этому числу справа столько нулей, сколько их содержится во множителе. При умножении десятичной дроби на единицу с нулями переносится запятая вправо на соответствующее число знаков. Например, 37 .100 = 3700; 0,3 100 = 30.

Деление на 10, 100 и т. д. Чтобы разделить целое число или "десятичную дробь на единицу с нулями, достаточно перенести запятую в делимом влево на столько знаков, сколько нулей содержится в делителе (у целого числа запятая мыслится расположенной вслед за последним его знаком, т. е. 37 =

37,0). Например, -=0,37; =з 0,003 .

Умножение на 2 может быть заменено сложением данного числа с самим собой (37 X Х 2 = 37 + 37 = 74).

Умножение на 4 заменяется двухкратным умножением на 2 по предыдущему правилу.

Умножение на 5. Данное число умножают на 10 (см. выше) и результат делят пополам

(37-5- ?; 37-10 = 370; - = 185 Подобным

образом умножают на 50, 500 и т. д.

Умножение на 25. Число умножается на 100 и результат дважды делят пополам.

Деление на 5 заменяется делением удвоенного значения данного числа на 10(например,

37-2 г= 37 + 37 = 74; y = 7,4j.

Деление на 25 заменяется делением на 100 учетверенного значения данного числа

(1=?; 37.4= 148; =1.48).

2. БУКВЫ ВМЕСТО ЧИСЕЛ

Пусть радиомастерская имеет длину 10 м и ширину 5 м. Тогда ее площадь будет равна 50 кв. м = 50 м. Для нахождения размера площади мы умножили длину на ширину. Взяв для сокращения записи только начальные буквы соответствующих слов, получим

п = д-ш. (1-1)

Мы получили формулу для вычисления площади, т. е. совокупность величин, выраженных буквами и соединенных посредством математических знаков, показывающих, какие над данными величинами надо произвести действия, чтобы определить площадь любого прямоугольника.

В математике принято пользоваться для изображения формул буквами латинского алфавита (см. стр. 210). Заменив в нашей формуле (1-1) русские буквы латинскими, например русское п - латинским S, русское о - латинским а, русское ш - латинским Ь, ту же формулу мы можем написать в виде S = а X У( Ь. Знак умножения в формулах с буквами для упрощения записи обычно опускается, так что окончательно получим:

S - аЬ.

(1-2)

Числа, которые предполагаются известными, заданными для вычисления, принято обозначать начальными буквами латинского алфавита (с, Ь, с), а числа неизвестные, которые необходимо вычислить, - «искомые» - обозначаются его последними буквами (х, у, z). Таким образом, формулу (1-2), содержащую S

неизвестную величину - площадь S, можно изобразить и как х = аЬ.

В одной и той же формуле разные буквы обозначают различные числовые величины, но одна и та же величина в одной и той же формуле обозначается обязательно одной и той же буквой. При сложении эти одинаковые буквы можно сосчитать и этим упростить формулу, например а Ь b а 2Ь. Выражение 2Ь означает удвоенное значение fc; если 6 = 4, то 2fc = 2 - 4 = 8.

3. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЯ С БУКВЕННЫМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ

Четыре главных действия, которые можно производить с буквами, следующие:

сложение: а-\~ h (слагаемое + слагаемое = =. сумма);

вычитание: а - b (уменьшаемое - вычитаемое = разность);

умножение: а -Ь (сомножитель • сомножитель = произведение);

деление: а\Ь ( ~ частное

Y делитель у

Дробь -это то же деление, только представленное как ~ b

/ числитель

~ частное или

дробь"!, умножении порядок

у знаменатель

При сложении или слагаемых или сомножителей не играет роли; при вычитании же и при делении порядок величин должен быть строго соблюдаем.

Сложение дробей. Если знаменатели обеих дробей одинаковы, то складывают только их числители, а знаменатель оставляют прежний

Т ~~Ь~ • знаменатели у сла-

гаемых различны, то дроби надо сначала привести к общему знаменателю, для чего числитель и знаменатель каждой дроби нужно умножить на знаменатель другой дроби

/ а ad ,Cb ad-\-c-b\

~d bTd d~b j •

d b.d d-b b-d

Вычитание дробей. При вычитании знаменатель у дробей тоже должен быть одинаковым. Тогда от числителя первой дроби (уменьшаемого) отнимают числитель второй дроби (вычитаемого) и оставляют прежний

(а с а - с\ г-

\~----т-~ -г- . Если дроби

знаменатель

\ b ь ~ b имеют разные знаменатели, то, как и при сложении, нужно сначала привести их к общему знаменателю a.d - c-b

с .6

~d7b