Вводя пределы интегрирования, приведем это уравнение к виду

о о

2q >j

QdQ.

Этот интеграл решается подстановкой

Интегрируя, найдем

2 <

Так как Vq определяется давлением впрыска, то 2/3 относится к плопдади, через которую течет топливо. Следовательно, эта величина есть коэффициент сжатия струи. По коэффициенту сжатия можно вычислить радиус сжатой струи Rem для идеальной жидкости:

0,66 или /?,=)/0,66, т. е. ;?, = 0,81

Таким образом, в сжатом сечении струи радиус ядра потока будет равен 0,4dc. Радиус вихря (рис. 2,6) в этом месте

Го (0,5с - 0,4йс)/2 = Тогда радиус вихревой нити (рис. 2, б)

Возникающие вихри взаимодействуют с основным потоком и отклоняют линий тока от оси сопла. С изменением направления линий тока в сопловом канале меняется значение функции тока, определяющей закономерность распределения расходов топлива через различные участки поперечных сечений соплового канала.

Согласно изложенной схеме гидравлических процессов, происходящих в канале сопла, найдем уравнение функции тока движения жидкости, при котором на установившийся прямолинейный поток накладывается кольцевой вихрь. Уравнения функций тока удобно представить в цилиндрических координатах. Найдем сначала уравнение линий тока поступательно движущегося потока п- Дифференциальные уравнения линий тока в цилиндрических координатах будут иметь следующий вид [39]:

dz dQ Qdd

Принимая, что поток является осесимметричным, получим v, О, а следовательно, и рйе=0. Тогда уравнение (6) примет вид

dz dQ

в качестве интегрирующего множителя можно использовать радиус Q. Условием того, что выражение (7) является полным дифференциалом функции <р(г, Q), будет равенство

Тогда

qvdq - qvqUz = db.

Сопоставим это уравнение с выражением полного дифференциала

Имея в виду, что коэффициенты при dz и dQ равны, получим

и Vq

I аФ

dQ dz

Решение дифференциального уравнения (8) получено в виде формулы [39]

ф(г, Q)=\v,[z,,, е) e-/Q - f (г, q)Qdz.

Как известно, для установившегося прямолинейного поток?* tJz = const и IoO. Интегрируя в пределах от О до q, найдем

При определении уравнения функции тока кольцевого вихря г;в будем исходить из того, что движение жидкости является вихревым при наличии в какой-либо части объема жидкости вихря скорости rot ю.

Обозначив вектор вихря скорости v через fi:

rot-ZJS. (10)

Введем векторный потенциал А, который связан с вектором скооо-сти соотношением [22"

(11)

Применяя к уравнению (11) операцию ротации с учетом выражения (10), получим

rotrot Л = 0. (12)

тепт-Ул У" кольцевого вихря векторный по-

тенциал А подчиняется дополнительному условию [15]

(13) (14)

div4 = 0.

Для всякого вектора

rot rot А-grad div Д - Л 4. где Д - оператор Лапласа.

Следовательно, с учетом выражений (12) и (13) из уравнения (14)

Д4=-й. (15)

Это уравнение является векторным аналогом уравнения Пуассона [22]. Если разместить начало координат на оси вихревой линии и обозначить координаты точки М на вихревой линии тока чере:$ I, Г] и , то решение уравнения (15) в векторной форме будет иметь следующий вид:

4я J Г

где г=")/x2•-f-{/-f-z2; dt - элемент объема.

Составляющие компоненты вектора Q по осям х, у и z будут соответственно

. - 2 cos (яГх)=2 , а cos{2Г г/) 2

2 = 2 cos (2Г) = 2

где Q - величина вектора Q.

Выражения для компонентов вектора А определяют как его составляющие по осям координат:

4я J г

4я J

(16)

Перейдя к координатам точки на поверхности вихоя n-nvuv для подынтегральных величин уравнений (16) получиу.

» -И -.-

г г г г

где а - площадь поперечного сечения вихревой трубки 12

Но так как rot г» а = Г, то Q0=roti»a=r, и выражение (16) примет вид

г г йГе . Т [ d-ri \- dC

4л J /• L

4л J г L

(17)

Для вычисления компонентов вектора А расположим оси координат так, чтобы центр круговой вихревой нити радиуса а с циркуляцией Г лежал на оси 2, а плоскость нити располагалась в плоскости X, у. Так же как и для г?п, перейдем к цилиндрическим координатам д, в и 2. Тогда х= cos 9; y=Q sin 9; z = z. Положение точки М на вихревой нити можно определить с помощью угла а так, что для нити = acosa; Ti = asina; = 0 и dl, = -asinada; dr{ = = acosada; d=0. Расстояние между точкой на вихревой нити М(1, т], ) и точкой во внешнем потоке N{x, у, z)

г-1/(х-Е)2 + (у-т1)2 + (г~С)2. Подставив выражения х, {/, z и , т], , определим

r = Y[Q cos О - а cos a)2-[-(Q sin О - а sin af-z= = yQ-2aQ cos(9 -a) + a2-L2:2.

Выразив через найденные d и dt формулу (17), получим

2tz 2tz

Га I sin ada . Га i cos ada . 4л J r 4л J r

При 9 = 0 направление координатной оси г совпадает с направлением оси X, а направление координаты 9 - с осью у. Следовательно, AxAq и Лу=Лб. При этом r=/Q2-L:2 2 2aQCosa. Откуда

sin ada

У q2 -1- а2 -- г2 - 2ар cos а

Так как направление вектора вихря перпендикулярно q, то А = = 0, а Лг=0, как было показано. Из уравнения Л=едЛо+е Лб+ -ЬеЛг можно заключить, что полная величина искомого вектора Л будет равна составляющей

Га 4л

cos ada

j/q2 + а2 -Ь г2 - 2ар cos а

Составляющие скорости в полярных координатах находят следующим образом. Так как V =rot Д то

x;q= rotg л

1 дЛ,

- rote А

Q (0 дг

v==roL А

dz dQ 1 d[QA) 1 дЛ

Q dQ Q

В рассматриваемом случае А,А,=0 и А, =А, поэтому

1 d{QA)

- I z~-

dz Q OQ

Объем жидкости, вытекающей через сечение окружностью ра-диу?а ГпеГпендикуярное оси г с центром на этой оси, можно наи-ти из выражения

Q 2х о

0 0

функция тока, равная расходу через сечение площадью, соответствующей одному радиану окружности радиуса

Подставляя в выражение b-QA величину Л=Ле из форму-лы (18), найдем

An } /а Л- 02 + 2-2 - 2aQ cjs а

Введем модуль

2у QU

/г2 + (Q +

Заменим а-л + 2ф и соответственно cos а=-(1 - гзшф), а также изменим пределы интегрирования. Югда

sin2 (f>d<f>

y\ - 2 sin2cp

Умножив числитель и знаменатель второго интеграла на величину и прибавив затем к числителю плюс и минус единицу, поели

соответствующих преобразований получим три следующих интеграла:

г/ар

J У 1 - sin2 >fe J

Эти иптегралы соответствуют значениям полных эллиптических интегралов первого и второго рода

После замены получим

rVaQ

k]K{k)

(20)

Найдя в, можно написать полное уравнение линий тока как сумму выралений (9) и (20):

ф=1„+К=----{(т~Г

-ВЦ.

(21)

Это уравнение позволяет определить и построить линии тока движущейся в сопловом канале жидкости. Однако при этом необходимо знать величины а и Г. Радиус кольцевой вихревой нити а определяют по формуле (5). Циркуляцию скорости Г найдем следующим образом. Примем, что на границе сжатого потока и кольцевого вихря (см. рис. 2) окружная скорость вихря равна скорости потока, вызвавшего этот вихрь. Тогда

vds = vs = 2лгоУ = 2n - v.

(22)

Подставляя в уравнение (19) значения координат потока г и q, находим соответствующие величины модуля k эллиптических интегралов, а также их табличные значения K{k) и E{k). Затем по формуле (21) вычисляем г!? и с помощью существующего метода [39] строим линии тока движущегося в сопловом канале топлива.

Согласно графоаналитическому методу определения координаты 2в расположения входного вихря в сопловом канале (рис. 2, б) гв= = 0,5rfc-

Следовательно, плоскость кольцевого вихря, возникающего пр;* входе топлива в сопловой канал, удалена от плоскости входного отверстия сопла на расстояние, равное радиусу сопла.