Ту же самую идею, т. е. идею изменения веса цифры в зависимости от ее позиции в числе, мы используем и при записи; двоичных чисел. Однако здесь каждую позицию может занимать только одна из двух цифр. О или 1. Общее выражение для позиционной системы счисления имеет вид

2«-}-2«-1+... + 23-f 2+21+2°.

(2.4>

Обе системы, и с основанием 10, и с основанием 2, можно использовать для представления любого заданного значения. Например, определите, чему равен десятичный эквивалент двоичного числа 1110010.

1 1 10 0 10

(26) + (2) + (2*) + О+О+(21) + О = 64 + 32 + 16+0 + 0+ 2 +0 = = 114,

(2.5) (2.6) (2.7)

[нижний индекс 10 в выражении (2.7) указывает на то, чта 114 - это число, представленное в десятичной системе счисления].

В табл. 2.1 приведены двоичные представления десятичных чисел от О до 33.

Таблица 2. Г

ДВОИЧНЫЕ ЭКВИВАЛЕНТЫ ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ ОТ О ДО 33

(Незначащие нули писать необязательно, здесь они оставлены для сохранения единства написания.)

Двоичная арифметика

Правила двоичной арифметики очень просты и записываются в следующем виде для сложения:

0 + 0 = 0 1+0=1

0 + 1 = 1

1 + 1 = 1 плюс единица переноса в

следующий слева разряд.

(2.8)

{Здесь представлены все возможные комбинации.) Пример. Сложить два двоичных числа: 101 и 001.

+ 001 (2.9)

Пример. Сложить два двоичных числа: 010110 и 001011.

Переносы

о (2.10)

1 0000 1

Для выполнения операции вычитания приходится обманывать цифровые вычислительные машины и логические схемы. Дело в том, что эти схемы и даже самые всемогущие вычислительные машины умеют выполнять только одну арифметическую операцию - сложение. Чтобы выполнить вычитание, нужно обмануть схему так, чтобы она приняла вычитание за сложение. Для этого используют дополнительный двоичный код (имеется в виду дополнение двоичного числа до двух).

Дополнением двоичного числа до единицы служит его инверсия, т. е. дополнением нуля до единицы является единица, а дополнением единицы до нуля - нуль. Когда мы определяем обратный код для двоичного числа какой угодно длины, мы просто заменяем все нули на единицы, а все единицы на нули:

Цифра Дополнение

1- 1 (2.11)

Для получения дополнительного кода двоичного числа нужно определить его обратный код и затем прибавить единицу к младшему значащему разряду (МЗР) (2°). Сформируем, например, дополнительный код для числа 1011:

Число -> 10 11

Обратный код->- О 1 i i (2.12>

Прибавление 1 к МЗР-*- + 1

Дополнительный код ->- 0 10 1

Пример. Вычесть 0100 из 1011.

1 О 1 1

0 10 0 (2.13)

Сначала сформируйте дополнительный код для числа 0100, затем прибавьте полученное значение к 1001.

0 10 0

10 11

+1,

Дополнительный код 110 0

(2.14)

Прибавьте этот результат к числу 1011:

10 11

единица переноса -j-l 1 0 0 (2.15)

1 -i- 0 111 -ответ

Для проверки правильности ответа произведем такое же сложение в десятичной системе счисления. Сначала определим десятичные эквиваленты двоичных чисел 0100 и 1011, а затем выполним обычное сложение:

10 11 11,0

-0100-> 4 (2.16)

1 -<- 0 111 +7,0

Двоичный ответ равен 0111 плюс единица переноса. 011l2=7io, т. е. ответ правильный. Заметим, что появление единицы переноса говорит о том, что результат положительный. А теперь рассмотрим пример, где ответ должен быть отрицательным. Вычтем хотя бы из числа 0100 число 1011:

0 10 0

-10 11 (2.17)

Сначала проинвертируем число 1011, затем сложим с 1: